Układy równań jako dwie informacje o tych samych liczbach
Układ równań to po prostu dwa (lub więcej) równań, które dotyczą tych samych niewiadomych. W szkole najczęściej pojawia się układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, np.:
x + y = 10
2x − y = 1
Tutaj x i y to te same liczby w obu równaniach. Pierwsze równanie mówi, że ich suma to 10, drugie – że po podwojeniu x i odjęciu y dostajemy 1. Rozwiązaniem układu jest para liczb (x, y), która spełnia oba równania jednocześnie.
Jeśli liczby pasują tylko do jednego równania, a do drugiego już nie – nie są rozwiązaniem układu. Właśnie dlatego samo zgadywanie na oślep szybko przestaje działać i potrzebne są metody systematycznego rozwiązywania: metoda podstawiania i metoda przeciwnych współczynników.
Geometria w tle: proste na płaszczyźnie i ich przecięcie
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi, np. 2x + 3y = 6, można przedstawić jako prostą na układzie współrzędnych. Para (x, y) spełnia równanie, jeśli leży na tej prostej. Jeśli są dwa równania, powstają dwie proste.
Możliwe są trzy sytuacje geometryczne:
Proste przecinają się w jednym punkcie – układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony).
Proste są równoległe i różne – nie przecinają się, więc brak rozwiązań (układ sprzeczny).
Proste pokrywają się (są tą samą prostą) – punktów wspólnych jest nieskończenie wiele (układ nieoznaczony).
Metody algebraiczne, takie jak podstawianie lub przeciwne współczynniki, są w istocie „obliczeniową wersją” tego, co dzieje się z prostymi na wykresie.
Krótki przegląd rodzajów układów na prostych przykładach
Kilka prostych przykładów pomaga od razu rozpoznać typ układu.
Układ oznaczony (jedno rozwiązanie):
x + y = 5
x − y = 1
Rozwiązanie: x = 3, y = 2 – tylko ta para liczb działa w obu równaniach.
Układ sprzeczny (brak rozwiązań):
x + y = 3
x + y = 5
Nie da się znaleźć liczb, które jednocześnie mają sumę 3 i 5. Proste są równoległe, brak punktu wspólnego.
Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań):
x + y = 4
2x + 2y = 8
Drugie równanie to tylko pierwsze pomnożone przez 2. Każda para spełniająca x + y = 4 (np. (0,4), (1,3), (2,2)) spełni oba równania. Algebraicznie przy rozwiązywaniu pojawia się równanie typu 0 = 0, co jest sygnałem układu nieoznaczonego.
Proste sytuacje życiowe prowadzące do układów równań
Układy równań pojawiają się naturalnie tam, gdzie mamy dwa warunki dotyczące tych samych wielkości:
Na rachunku w sklepie są dwa rodzaje produktów – znasz łączną kwotę i np. różnicę liczby sztuk.
Jadą dwa pojazdy – znasz prędkości, różne czasy jazdy i całkowity dystans.
W zadaniu tekstowym mieszają się roztwory – znasz objętości, stężenia, wynik końcowy.
Przykładowo: w kinie sprzedano razem 120 biletów na dwa typy miejsc: normalne i ulgowe. Wiadomo też, że biletów ulgowych było o 20 więcej niż normalnych. Jeśli oznaczysz:
x – liczba biletów normalnych
y – liczba biletów ulgowych
To z treści wynikają dwa równania:
x + y = 120 (razem 120 biletów)
y = x + 20 (ulgowych o 20 więcej)
Dokładnie taki układ świetnie nadaje się do rozwiązania metodą podstawiania – jedno równanie ma już od razu wyrażone y.
Przygotowanie: zapis, porządkowanie i proste przekształcenia
Standardowa postać równań liniowych
Najwygodniej pracuje się, gdy każde równanie ma uporządkowaną postać:
ax + by = c
czyli wszystkie wyrażenia z x i y po lewej stronie, liczba po prawej. Przykład:
3x − 2 = 4y + 5
Uporządkowanie:
3x − 2 = 4y + 5
3x − 4y − 2 = 5
3x − 4y = 7
Dzięki temu od razu widzisz współczynniki przy x i y (tutaj 3 i −4) i stałą (7), co ułatwia zarówno metodę podstawiania, jak i przeciwnych współczynników.
Dopuszczalne operacje na równaniach w układzie
Podczas rozwiązywania układów równań można wykonywać określone operacje, które nie zmieniają zbioru rozwiązań:
Dodawanie lub odejmowanie obu stron tego samego równania przez tę samą liczbę.
Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą, niezerową liczbę.
Dodawanie (lub odejmowanie) jednego równania do drugiego – typowe przy metodzie przeciwnych współczynników.
Zamiana równań w układzie miejscami.
Operacje te są „legalne”, ponieważ utrzymują równoważność równań – rozwiązania się nie zmieniają, tylko forma zapisu. Np.:
x + y = 10
x − y = 4
Dodając równania stronami, dostaniesz:
2x = 14 → x = 7
To typowy krok w metodzie przeciwnych współczynników.
Rozsądne oznaczanie niewiadomych w zadaniach tekstowych
Przy zadaniach tekstowych kluczowy jest czytelny wybór niewiadomych. Zwykle:
oznacz to, co naprawdę jest niewiadome (liczba sztuk, cena, czas, prędkość),
unikaj wprowadzania zbyt wielu zmiennych – dwie zwykle wystarczą,
zapisz jednoznacznie, co oznacza każda zmienna, np. „x – liczba zeszytów, y – liczba długopisów”.
Jeśli wybierzesz niejasne oznaczenia, to łatwo o pomieszanie równań i za duże zamieszanie w dalszych krokach.
Porządkowanie „bałaganiarsko” zapisanego układu
Często w zadaniach pojawiają się układy, w których dane są zapisane chaotycznie, np.:
2y + 5 = x − 3
7 = 3x − y + 1
Uporządkowanie do standardowej postaci:
2y + 5 = x − 3 → przenosimy wszystko na lewą stronę:
2y + 5 − x + 3 = 0
−x + 2y + 8 = 0 → x − 2y = 8 (pomnożenie przez −1 dla wygody).
Drugie równanie:
7 = 3x − y + 1
7 − 1 = 3x − y
6 = 3x − y → 3x − y = 6
Otrzymany układ w porządnej formie:
x − 2y = 8
3x − y = 6
Dopiero z takim zapisem wygodnie można zastosować zarówno metodę podstawiania, jak i przeciwnych współczynników.
Źródło: Pexels | Autor: Max Fischer
Metoda podstawiania – idea i schemat działania
Na czym polega metoda podstawiania (intucja)
Metoda podstawiania opiera się na prostym pomyśle: z jednego równania wyrażasz jedną niewiadomą przez drugą, a potem wstawiasz to wyrażenie do drugiego równania. Dzięki temu w drugim równaniu pojawia się tylko jedna zmienna – łatwo ją policzyć.
Schemat myślowy:
Skoro np. y = 2x + 3, to w drugim równaniu zamiast „y” możesz wszędzie wpisać „2x + 3”.
Dostajesz równanie tylko z x – proste równanie liniowe.
Po wyliczeniu x wracasz do któregoś równania, aby policzyć y.
W całej metodzie kluczowa jest poprawna zamiana symbolu (np. y) na wyrażenie (np. 2x + 3) w każdym miejscu, gdzie się pojawia.
Metoda podstawiania krok po kroku
Ogólny schemat:
Wybierz to równanie, z którego najłatwiej wyrazić jedną zmienną (x lub y).
Rozwiąż to równanie względem wybranej zmiennej, np. y = … lub x = …
Wstaw otrzymane wyrażenie do drugiego równania w miejsce tej zmiennej.
Otrzymujesz równanie z jedną niewiadomą – rozwiąż je.
Podstaw obliczoną wartość do jednego z równań (zwykle tego prostszego), aby znaleźć drugą zmienną.
Na końcu sprawdź parę (x, y) w obu równaniach.
Ta procedura zawsze prowadzi do jednego z trzech efektów: konkretnej pary (x, y), równania sprzecznego typu 0 = 5 (układ sprzeczny) lub równania tożsamościowego 0 = 0 (układ nieoznaczony).
Kiedy metoda podstawiania jest szczególnie wygodna
Metoda podstawiania sprawdza się najlepiej, gdy:
jedna z niewiadomych ma współczynnik 1 lub −1, np. x + 2y = 7 lub −y + 3x = 5,
jedna niewiadoma jest już wyrażona, np. y = 2x + 4, x = 5 − 3y,
w zadaniu tekstowym wprost zapisujesz zależność, np. „druga liczba jest o 3 większa od pierwszej” → y = x + 3.
W takich przypadkach wyrażenie zmiennej jest szybkie, więc mniej miejsc na pomyłkę. Przy współczynnikach typu 7, 11, 13 i ułamkach metoda podstawiania bywa bardziej rachunkowo męcząca niż metoda przeciwnych współczynników.
Prosty przykład liczbony rozwiązany metodą podstawiania
Rozwiąż układ równań:
x + y = 10
x − y = 4
Krok 1: wyrażamy jedną niewiadomą.
Z pierwszego równania łatwo wyrazić x lub y. Wybierzmy x:
x + y = 10 → x = 10 − y
Krok 2: podstawiamy do drugiego równania.
Drugie równanie: x − y = 4. W miejsce x wstawiamy 10 − y:
(10 − y) − y = 4
10 − 2y = 4
Krok 3: rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą.
10 − 2y = 4
−2y = 4 − 10 = −6
y = (−6) / (−2) = 3
Krok 4: liczymy drugą niewiadomą.
x = 10 − y = 10 − 3 = 7
Krok 5: sprawdzenie.
Pierwsze równanie: 7 + 3 = 10 – zgadza się.
Drugie równanie: 7 − 3 = 4 – zgadza się.
Rozwiązanie układu: (x, y) = (7, 3).
Metoda podstawiania w różnych konfiguracjach układów
Przypadek idealny: niewiadoma już wyrażona
Bardzo często w zadaniach pojawia się sytuacja typu:
y = 2x + 3
3x − y = 9
Pierwsze równanie ma już gotowe wyrażenie y przez x. Wystarczy podstawienie do drugiego równania.
W tym przykładzie pojawiają się ułamki, ale konstrukcja równań nadal jest przyjazna dla metody podstawiania: jedno równanie ma bardzo proste współczynniki 1 i −1.
Gdy żadne równanie nie jest „miłe” – wybór mniejszego zła
Czasem żadne z równań nie zachęca do wyrażania zmiennej. Przykład:
Każda wersja wprowadza ułamki, a potem w drugim równaniu pojawią się bardziej złożone wyrażenia. W takim układzie w praktyce szybciej działa metoda przeciwnych współczynników. Jeśli jednak trzeba stosować podstawianie, warto wybrać tę zmienną, która po wstawieniu wymaga mniej mnożenia.
Metoda podstawiania z ułamkami – dbanie o czytelny zapis
Układy z ułamkami często zniechęcają, ale po kilku krokach można je uprościć. Rozważ:
(frac{1}{2}x + y = 5)
x − (frac{1}{3}y) = 4
Najpierw można pozbyć się ułamków przez pomnożenie równań przez wspólne mianowniki.
Pierwsze równanie pomnóż przez 2:
x + 2y = 10
Drugie równanie pomnóż przez 3:
3x − y = 12
Otrzymany układ:
x + 2y = 10
3x − y = 12
Z pierwszego równania:
x = 10 − 2y
Podstawiamy do drugiego:
3(10 − 2y) − y = 12
30 − 6y − y = 12
30 − 7y = 12
−7y = 12 − 30 = −18
y = (frac{18}{7})
Kluczowy krok to wcześniejsze usunięcie ułamków – późniejsze podstawianie staje się dużo prostsze rachunkowo.
Metoda podstawiania a układy sprzeczne i nieoznaczone
Metoda podstawiania w naturalny sposób ujawnia, czy układ ma jedno rozwiązanie, czy jest sprzeczny, czy nieoznaczony. Przykład układu sprzecznego:
x + y = 4
2x + 2y = 10
Z pierwszego równania wyraź y:
x + y = 4 → y = 4 − x
Podstaw do drugiego:
2x + 2(4 − x) = 10
2x + 8 − 2x = 10
8 = 10
Ostatni wniosek jest fałszywy, więc taki układ nie ma rozwiązań. Równania opisują dwie równoległe proste.
Przykład układu nieoznaczonego:
x + y = 4
2x + 2y = 8
Znów wyraź y z pierwszego równania:
y = 4 − x
Drugie równanie po podstawieniu:
2x + 2(4 − x) = 8
2x + 8 − 2x = 8
8 = 8
Ostatnie równanie jest prawdziwe dla każdego x, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Obie proste są w istocie tą samą prostą. Rozwiązania można zapisać np. parametrycznie:
x – dowolna liczba rzeczywista,
y = 4 − x.
Metoda podstawiania w zadaniach tekstowych – kilka typowych schematów
W zadaniach tekstowych często pojawiają się podobne struktury zależności. Warto je rozpoznać, bo od razu sugerują użycie podstawiania.
„Druga wielkość jest o k większa/mniejsza” – zapis typu y = x + k lub y = x − k.
„Jedna wielkość stanowi pewien ułamek/drugą część drugiej” – zapis typu y = (frac{2}{3}x), y = 0,4x.
„Razem mają… a różnica wynosi…” – zwykle układ: x + y = …, x − y = …
Przykład krótkiego zadania: Dwie osoby razem przejechały 300 km. Jedna z nich przejechała o 60 km więcej niż druga. Oznacz:
x – droga pierwszej osoby,
y – droga drugiej osoby.
Z treści:
x + y = 300
x = y + 60
Drugie równanie od razu daje wyrażenie x przez y, więc podstawianie jest naturalnym wyborem:
y + 60 + y = 300
2y + 60 = 300
2y = 240
y = 120
x = y + 60 = 180
Metoda przeciwnych współczynników – zasada działania
Podstawową ideą tej metody jest takie przekształcenie równań, aby przy jednej z niewiadomych pojawiły się współczynniki przeciwne, np. 3 i −3, 5 i −5, (frac{1}{2}) i −(frac{1}{2}). Gdy doda się wtedy równania stronami, dana zmienna znika.
Przykład:
2x + 3y = 7
4x − 3y = 5
Współczynniki przy y to 3 i −3. Po dodaniu równań:
Układ równań to dwa lub więcej równań, które dotyczą tych samych niewiadomych, np. x i y. Rozwiązaniem układu jest taka para (lub trójka itd.) liczb, która spełnia wszystkie równania jednocześnie.
Układy równań pojawiają się zawsze wtedy, gdy masz kilka warunków dotyczących tych samych wielkości: liczby produktów i ich ceny, liczby biletów normalnych i ulgowych, prędkości i czasu jazdy, objętości i stężeń roztworów.
Na czym polega metoda podstawiania w układach równań?
W metodzie podstawiania z jednego równania wyrażasz jedną niewiadomą przez drugą (np. y = 2x + 3), a potem w drugim równaniu w miejsce tej niewiadomej wstawiasz otrzymane wyrażenie. Dzięki temu drugie równanie ma już tylko jedną zmienną, więc można je łatwo rozwiązać.
Po obliczeniu pierwszej niewiadomej podstawiasz jej wartość do któregoś z równań, aby policzyć drugą. Jeśli w trakcie dostaniesz równanie typu 0 = 5, układ jest sprzeczny, a jeśli 0 = 0 – nieoznaczony.
Kiedy lepiej użyć metody podstawiania, a kiedy przeciwnych współczynników?
Metoda podstawiania jest wygodna, gdy z jednego równania łatwo wyrazić niewiadomą, np. gdy masz postać typu y = 3x − 1 albo współczynnik przy x lub y wynosi 1 lub −1. Świetnie pasuje też do zadań tekstowych, gdzie zależność między wielkościami „sama się prosi” o zapisanie w formie y = … lub x = …
Metoda przeciwnych współczynników sprawdza się, gdy układ jest już w postaci ax + by = c i łatwo doprowadzić do przeciwnych współczynników przy x lub y (np. 2x + 3y = … i −2x + 5y = …). Wtedy po dodaniu równań jedna zmienna znika.
Jak rozpoznać, że układ równań jest sprzeczny albo nieoznaczony?
Podczas rozwiązywania możesz trafić na trzy typy zakończenia:
otrzymujesz konkretną parę (x, y) – układ ma jedno rozwiązanie (układ oznaczony);
po przekształceniach wychodzi równanie sprzeczne, np. 0 = 5 – wtedy układ nie ma rozwiązań (układ sprzeczny, proste równoległe);
po przekształceniach dostajesz tożsamość, np. 0 = 0 – układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony, proste pokrywają się).
W wersji geometrycznej: jedno rozwiązanie oznacza punkt przecięcia prostych, brak rozwiązań – proste równoległe, a nieskończenie wiele – tę samą prostą opisaną dwoma równaniami.
Jak poprawnie zapisać układ równań z zadania tekstowego?
Najpierw jasno oznacz niewiadome, np. „x – liczba biletów normalnych, y – liczba biletów ulgowych”. Potem z treści zadania wypisz osobno każdą informację liczbową i zapisz ją w formie równania.
Dobrą praktyką jest uporządkowanie równań do postaci ax + by = c, czyli wszystkie wyrażenia z x i y po lewej stronie, a liczby po prawej. Taki zapis ułatwia zarówno podstawianie, jak i metodę przeciwnych współczynników.
Jakie operacje wolno wykonywać na równaniach w układzie?
Można wykonywać tylko takie operacje, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, czyli m.in.:
dodawać lub odejmować tę samą liczbę po obu stronach równania,
mnożyć lub dzielić obie strony przez tę samą, niezerową liczbę,
dodawać lub odejmować jedno równanie do drugiego (kluczowe przy metodzie przeciwnych współczynników),
zamieniać równania miejscami w układzie.
Dzięki tym operacjom zmieniasz tylko „postać” układu, a nie jego rozwiązania.
Jak krok po kroku rozwiązać prosty układ równań metodą przeciwnych współczynników?
Najpierw uporządkuj oba równania do postaci ax + by = c. Następnie tak pomnóż jedno lub oba równania, aby przy x lub y uzyskać współczynniki przeciwne (np. 3 i −3 albo 5 i −5). Potem dodaj równania stronami – jedna niewiadoma zniknie.
Po wyznaczeniu pierwszej niewiadomej podstaw jej wartość do jednego z równań, aby obliczyć drugą. Na końcu warto szybko sprawdzić otrzymaną parę (x, y), podstawiając ją do obu równań.
Źródła informacji
Algebra liniowa. Wydawnictwo Naukowe PWN (2012) – Podstawy układów równań liniowych, pojęcie rozwiązania
Algebra liniowa z geometrią analityczną. Wydawnictwo Naukowe PWN (2006) – Interpretacja geometryczna równań liniowych i prostych
Matematyka 2. Podręcznik dla liceum i technikum. Zakres podstawowy. Nowa Era (2020) – Układy równań liniowych, metoda podstawiania i przeciwnych współczynników
Matematyka 2. Podręcznik dla liceum i technikum. Zakres rozszerzony. Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe (2019) – Rodzaje układów: oznaczony, sprzeczny, nieoznaczony
Algebra liniowa. Wydawnictwo Naukowe UAM (2010) – Warunki istnienia i liczby rozwiązań układów równań liniowych
Matematyka. Zbiór zadań dla liceum i technikum. Operon (2018) – Zadania tekstowe prowadzące do układów równań
Algebra liniowa i jej zastosowania. Wydawnictwo Naukowe UMK (2011) – Równoważne przekształcenia równań i układów
